當嘴和舌頭發麻時，可以考慮就診的科室包括口腔科、神經內科和疼痛科。具體選擇哪個科室，可以根據患者的具體情況進行判斷。

1、口腔科

如果患者有智齒拔除史，并且出現下嘴唇和舌頭發麻的癥狀，建議就診口腔科，因為這可能是智齒拔除引起的并發癥。

2、神經內科

對于全身癥狀，如顱腦損傷引起的口腔發麻，需要就診神經內科進行進一步的檢查和治療。

3、疼痛科

如果嘴和舌頭發麻引起的不適較為嚴重，可以就診疼痛科，醫生會結合患者的癥狀進行對癥治療。

總之，當嘴和舌頭發麻時，建議盡快就醫，并在醫師的指導下進行治療。